ریاضی تابع چیست؟ – در ریاضی و به زبان ساده + حل تمرین و مثال

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

تابع، یکی از انواع رابطه است. در این نوع رابطه، اعضای دو مجموعه (مجموعه دامنه یا ورودی و مجموعه برد یا خروجی) به یکدیگر وصل می‌شوند. البته در توابع ریاضی، هیچ یک از اعضای ورودی، با بیش از یک عضو خروجی رابطه ندارد. به عبارت دیگر، با قرار دادن یک ورودی در تابع، تنها به یک خروجی مشخص می‌رسیم. توابع ریاضی، انواع بسیار مختلفی دارند. در این مقاله، ضمن پاسخگویی به پرسش تابع چیست به مفاهیم مرتبط با توابع ریاضی نظیر برد، دامنه و هم‌دامنه نیز می‌پردازیم. علاوه بر این، روش‌های نمایش توابع و انواع تابع در ریاضی را نیز بیان می‌کنیم.

تابع در ریاضی چیست؟​

«تابع»...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

مثال تابع در دنیای هندسه​

در دنیای هندسه، محاسبه بسیاری از اندازه‌ها نظیر محیط و مساحت توسط توابع ریاضی انجام می‌گیرد. به عنوان مثال، محیط دایره با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

C=۲πr�=۲��

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت پی برابر ۳/۱۴
• r: شعاع دایره

ضریب ۲ و عدد پی، دو ثابت عددی در فرمول محیط دایره هستند. بنابراین، اندازه محیط دایره به اندازه شعاع آن بستگی دارد. به عبارت دیگر، محیط دایره، تابعی از شعاع است. بار دیگر به این نکته اشاره می‌کنیم که نه در دنیای واقعی و نه در دنیای ریاضی، هیچ تابعی نمی‌تواند با گرفتن یک ورودی ثابت، خروجی‌های متفاوت داشته باشد. به عنوان مثال، هیچ آشپزی نمی‌تواند با استفاده از مواد اولیه سالاد...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

تابع، رابطه‌ای است که یک مقدار از برد را به مقادیر موجود در دامنه اختصاص می‌دهد. به عبارت «یک» در تعریف تابع دقت زیادی داشته باشید. منظور از این عبارت این است که هیچ یک از مقادیر x در تابع تکرار نمی‌شوند. به عنوان مثال، رابطه معرفی شده در ابتدای این بخش را دوباره در نظر بگیرید:

{(۱۲)(۲۴)(۳۶)(۴۸)(۵۱۰)}{(۱۲)(۲۴)(۳۶)(۴۸)(۵۱۰)}

در این رابطه، اعداد موجود در برد (مولفه‌های دوم)، دو برابر اعداد موجود در دامنه (مولفه‌های اول) هستند. از آنجایی که هر یک از مولفه‌های برد ({۲۴۶۸۱۰}{۲۴۶۸۱۰}) دقیقا با یکی از مولفه‌های دامنه ({۱۲۳۴۵}{۱۲۳۴۵}) ارتباط دارد، رابطه بین آن‌ها به عنوان یک تابع در نظر گرفته می‌شود. اکنون، رابطه زیر را در نظر بگیرید...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

مثال ۱: تعیین تابع از روی رابطه​

بر اساس تعریف تابع، کدامیک از این روابط موجود در تصویر زیر، یک تابع را نمایش می‌دهند؟

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، رابطه بین مقادیر ورودی (برد) و خروجی (دامنه) در هر رابطه، با یک فلش نمایش داده شده است. بر اساس تعریف، اگر هر یک از مقادیر برد، تنها به یکی از مقادیر دامنه ارتباط داشته باشد، رابطه مورد نظر، یک تابع خواهد بود. در رابطه سمت راست، حروف m و n در برد، تنها به یکی از حروف q ،p یا r در دامنه ارتباط دارند. بنابراین، این رابطه، یک تابع را نمایش می‌دهد.

در رابطه میانی، حرف x در برد، تنها با حرف p در ورودی...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، هر نوشیدنی، تنها یک قیمت دارد. بنابراین، قیمت نوشیدنی، تابعی از نوع آن است. به عبارت دیگر، در صورت سفارش آب پرتقال، قطعا هزینه نوشیدنی ۳۰ هزار تومان می‌شود. اکنون، به سراغ پاسخ دادن به سوال دوم می‌رویم. برای این کار، قیمت‌ها را به عنوان مقادیر ورودی و نوشیدنی‌ها را به عنوان مقادیر خروجی در نظر می‌گیرم. سپس، قیمت‌های مشابه را ادغام کرده و هر یک از آن‌ها را توسط فلش به نوشیدنی مربوطه وصل می‌کنیم.

...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

مثال ۳: نوشتن فرم تابع​

از مفهوم تابع برای نوشتن تابعی با مشخصات زیر استفاده کنید:

• ورودی: نام ماه
• خروجی: تعداد روزهای ماه

تعداد روزهای یک ماه، تابعی از نام آن ماه است. بنابراین، داریم:

(ماه)f = تعداد روزهای ماه

اگر تعداد روزهای ماه را با حرف d (ابتدای عبارت Days) و ماه را با حرف m (ابتدای عبارت Month) مشخص کنیم، فرم تابع مورد نظر ما به شکل زیر درمی‌آید:

d=f(m)�=�(�)

تابع f(m)، با گرفتن مقدار m (نام ماه)، مقدار d (تعداد روزهای ماه) را به ما می‌دهد. به عنوان مثال، اگر m برابر با اردیبهشت باشد، d برابر با ۳۱ خواهد بود:

۳۱ = (اردیبهشت)f

به همین ترتیب، برای ماه آبان داریم:

۳۰ = (آبان)f

ورودی تابع حتما نباید عدد باشد. ورودی یک...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

مثال ۴: تفسیر المان های تابع​

تابع N=f(y)�=�(�)‌ را در نظر بگیرید. اگر N، تعداد پلیس‌های شاغل در یک شهر بوده و y، معرف سال باشد، مفهوم f(۱۴۰۰)=۲۵۰�(۱۴۰۰)=۲۵۰ چیست؟

با توجه به اطلاعات مسئله، عدد داخل پرانتز (۱۴۰۰)، ورودی تابع (سال) و عدد دیگر (۳۰۰)، خروجی تابع (تعداد پلیس‌‌ها) را نمایش می‌دهد. f(۱۴۰۰)=۲۵۰�(۱۴۰۰)=۲۵۰ به ما نشان می‌دهد که در سال ۱۴۰۰، ۲۵۰ پلیس در شهر مشغول به کار بوده‌اند.

نمایش جبری تابع: تعیین فرمول تابع​

منظور از نمایش جبری تابع، معادله یا مدل ریاضی معرف آن است. نوشتن مسائل دنیای واقعی در قالب یک تابع، مدل‌سازی ریاضی می‌گویند. یک تابع به همراه تمام متغیرهای ورودی، متغیرهای خروجی و یکای اندازه‌گیری، به عنوان مدل ریاضی شناخته...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

مثال ۵: محاسبه خروجی تابع با استفاده از فرمول​

یک دونده، در هر دقیقه، مسافت ۳۰۰ متر را طی می‌کند. میزان مسافت طی شده توسط این دونده را در قالب یک تابع جبری نمایش دهید. در مدت زمان ۵ دقیقه، دونده چه مسافتی را طی می‌کند؟

مسافت طی شده توسط دونده، تابع از زمان است. اگر زمان را با متغیری نظیر t نمایش دهیم، مسافت طی شده برابر با f(t) خواهد بود. بر اساس صورت سوال، می‌دانیم که در هر دقیقه (به ازای هر t)، ۳۰۰ متر توسط دونده طی می‌شود. به زبان ریاضی:

t=۱�=۱

f(۱)=۳۰۰�(۱)=۳۰۰

اگر زمان را به ۲ دقیقه افزایش دهیم، خواهیم داشت:

t=۲�=۲

f(۲)=۳۰۰×۲=۶۰۰�(۲)=۳۰۰×۲=۶۰۰

با توجه به فرمول و مقادیر محاسبه شده، فرمول تابع f(t) را به صورت زیر می‌نویسیم:

f(t)=۳۰۰t�(�)=۳۰۰�

بنابراین، در...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

نمایش گرافیکی تابع: رسم نمودار تابع​

یکی از روش‌های متداول برای نمایش توابع ریاضی، رسم نمودار آن‌ها است. در این روش، معمولا از دستگاه مختصات دوبعدی با محور افقی x و محور عمودی y استفاده می‌شود.

به عنوان مثال، تصویر زیر را در نظر بگیرید. این تصویر، نمودار تابع f را نمایش می‌دهد.

برای هر مقدار ورودی x، خروجی تابع f برابر با فاصله عمودی نمودار تا محور افقی x است. به عنوان مثال، در نمودار بالا، فاصله عمودی نمودار تابع تا محور x در نقطه x=a�=� برابر با f(a)�(�) است. منحنی یا نمودار تابع y=f(x)�=�(�)، مجموعه‌ای از نقاط دارای...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.

 

[زهـرا دُلاریـᥫ᭡]

نمایش عددی تابع: ایجاد جدول تابع​

یکی دیگر از روش‌های نمایش تابع، استفاده از جدول است. در جدول تابع، یکی از سطرها یا ستون‌ها، معرف مقادیر ورودی (متغیر مستقل) بوده و دیگر سطر یا ستون، بیانگر مقادیر خروجی (متغیر وابسته) است. به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

Q=g(n)�=�(�)

مقادیر ورودی و خروجی تابع g(n) در جدول زیر آورده شده‌اند.

n (ورودی تابع)	Q (خروجی تابع)
۱	۸
۲	۶
۳	۷
۴	۶
۵	۸

با وجود مشخص بودن مقادیر دقیق خروجی‌ها در جدول تابع، تعداد خروجی‌ها محدود است. این...

لطفا برای مشاهده کامل مطالب در انجمن ثبت نام کنید.