تابع چیست؟ – در ریاضی و به زبان ساده + حل تمرین و مثال

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

f(x)=⌊x⌋�(�)=⌊�⌋

مقادیر ورودی و خروجی زیر را می‌توان به عنوان نمایش جدولی یک تابع جز صحیح در نظر گرفت.

x	f(x)
۱/۵-	۲-
۱-	۱-
۰/۵-	۰
۰/۵	۰
۱	۱
۱/۵	۱

نمودار زیر، نمایش گرافیکی تابع جز صحیح است.

روش های تشخیص تابع در ریاضی

روش‌های مختلفی برای تشخیص تابع بودن یک رابطه وجود دارد. در این بخش، به معرفی سه روش اصلی...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

تشخیص تابع به روش آزمون خط عمودی

«آزمون خط عمودی» (Vertical Line Test)، روشی برای تشخیص تابع بودن یک رابطه از روی نمودار آن است. هیچ خط عمودی را نمی‌توان یافت که نمودار یک تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند.

در صورت برخورد خط عمودی به دو یا چند نقطه، نمودار رابطه، بیانگر یک تابع نیست. به عنوان مثال، دو نمودار زیر را در نظر بگیرد.

شکل سمت راست، نمودار یک تابع قدر مطلق را نمایش می‌دهد. شکل سمت چپ، نمودار حاصل از معادله دایره است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، خط عمودی، معادله دایره را در دو نقطه قطع می‌کند. بنابراین، معادله...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

تفاوت دامنه، برد و هم دامنه در تابع؟

دامنه، برد و هم‌دامنه از مهم‌ترین مفاهیم مرتبط با مبحث تابع در ریاضی هستند. این مفاهیم، ارتباط بسیار نزدیکی به هم دارند. تصویر زیر، رابطه بین دو مجموعه را نمایش می‌دهد. مجموعه سمت چپ، اسم افراد و مجموعه سمت راست، سال تولد آن‌ها است.

رابطه بالا، یک تابع است. مجموعه زوج مرتب‌های این تابع به صورت زیر نوشته می‌شود:

{(۱۳۹۳ ,مبینا) ,(۱۳۷۱ ,حسین) ,(۱۳۸۶ ,سارا) ,(۱۳۶۰ ,هاشم)} = f

در ادامه، دامنه، برد و هم‌دامنه را به کمک مثال بالا تعریف می‌کنیم.

دامنه تابع چیست ؟

«دامنه» (Domain)،...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

برد تابع چیست ؟

«برد» (Range)، مجموعه‌ای از تمام خروجی‌های یک تابع است که بعد از جایگذاری ورودی‌ها در آن تابع به دست می‌آید. برای مثال ابتدای این بخش، مجموعه برد تابع عبارت است از:

{(۱۳۹۳ ,مبینا) ,(۱۳۷۱ ,حسین) ,(۱۳۸۶ ,سارا) ,(۱۳۶۰ ,هاشم)} = f

{۱۳۹۳ , ۱۳۷۱ , ۱۳۸۶ ,۱۳۶۰} = برد f

به عبارت دیگر، تمام مولفه‌های دوم تابع به عنوان برد در نظر گرفته می‌شوند. در صورت داشتن فرمول تابع، مجموعه برد آن طی مراحل زیر به دست می‌آید:

تغییر متغیر f(x)=y�(�)=�
بازنویسی فرمول تابع برای محاسبه x
تعیین دامنه تابع جدید (برد تابع قبلی)

به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=√x۲+۱�(�)=�۲+۱

به منظور تعیین برد این تابع، ابتدا f(x) را برابر با y قرار...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

هم دامنه تابع چیست ؟

«هم‌دامنه» (Codomain)، مجموعه‌ای از تمام خروجی‌های احتمالی به عنوان خروجی یک تابع است. در برخی از موارد، برد و هم‌دامنه تابع، با یکدیگر برابر می‌شوند. به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید.

دامنه و برد تابع بالا عبارت هستند از:

{(۱۳۹۳ ,مبینا) ,(۱۳۷۱ ,حسین) ,(۱۳۸۶ ,سارا) ,(۱۳۶۰ ,هاشم)} = f

{مبینا ,حسین ,سارا ,هاشم} = دامنه f

{۱۳۹۳ , ۱۳۷۱ , ۱۳۸۶ ,۱۳۶۰} = برد f

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، برد تابع، تمام اعضای مجموعه سمت راست (خروجی‌های تابع) را شامل نمی‌شود. این مجموعه، هم‌دامنه تابع است:

{۱۴۰۲ ,۱۴۰۰ ,۱۳۹۳ , ۱۳۷۱ ...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

خروجی تابع چگونه بدست می آید ؟

روش‌های مختلفی برای به دست آوردن ورودی و خروجی انواع تابع در ریاضی وجود دارد. فرض کنید فرمول تابع و یکی از مقادیر ورودی آن را داریم. در این شرایط، با قرار دادن ورودی در فرمول تابع، خروجی آن به دست می‌آید.

به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=۵−۳x۲�(�)=۵−۳�۲

این تابع، یک تابع چندجمله‌ای درجه دو است (در بخش بعدی به معرفی این تابع و دیگر انواع تابع در ریاضی خواهیم پرداخت). اگر مقدار ورودی را برابر با ۳ قرار دهیم (x=۳�=۳) و تابع را حل کنیم، خواهیم داشت:

f(۳)=۵−۳(۳)۲�(۳)=۵−۳(۳)۲

f(۳)=۵−(۳×۹)�(۳)=۵−(۳×۹)

f(۳)=۵−۲۷�(۳)=۵−۲۷

f(۳)=−۲۲�(۳)=−۲۲

بنابراین، خروجی تابع f(x) در x=۳�=۳ برابر با ۲۲- است. به همین ترتیب، اگر خروجی تابع را...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

f(a+h)−f(a)h=h(۲a+h+۳)h�(�+ℎ)−�(�)ℎ=ℎ(۲�+ℎ+۳)ℎ

f(a+h)−f(a)h=۲a+h+۳�(�+ℎ)−�(�)ℎ=۲�+ℎ+۳

مثال ۸: نوشتن فرمول تابع

رابطه ۲n+۶p=۱۲۲�+۶�=۱۲ را به صورت تابعی از n بنویسید.

برای نوشتن رابطه بالا به صورت تابعی از n، باید آن را بر حسب p بازنویسی کنیم. به این منظور، عبارت دارای p را در یک طرف رابطه نگه می‌داریم و باقی عبارت‌ها را به طرف دیگر انتقال می‌دهیم:

۲n+۶p=۱۲۲�+۶�=۱۲

۶p=۱۲−۲n۶�=۱۲−۲�

p=۱۲−۲n۶�=۱۲−۲�۶

p=۱۲۶−۲n۶�=۱۲۶−۲�۶

p=۲−۱۳n�=۲−۱۳�

در نتیجه:

p=f(n)=۲−۱۳n�=�(�)=۲−۱۳�

مثال ۹: تعیین مقادیر تابع از روی جدول

جدول زیر، مقادیر ورودی و خروجی تابع g(n) را نمایش می‌دهد.

ورودی n	خروجی g(n)

...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

ترکیب تابع چیست ؟

«ترکیب توابع» (Composition of Functions)، فرآیند ادغام دو یا چند تابع در یک تابع منفرد است. به تابع حاصل از ترکیب توابع، «تابع مرکب» (Composite Function) می‌گویند. ترکیب دو تابع f(x) و g(x)، به صورت f(g(x))�(�(�)) یا (f∘g)(x)(�∘�)(�) نوشته می‌شود.

در اینجا، خروجی تابع g(x)، به عنوان ورودی در تابع f(x) قرار داده شده است.

حاصل ترکیب توابع چگونه بدست می آید ؟

برای به دست آوردن حاصل ترکیب دو تابع، ابتدا باید مقدار تابع درونی را محاسبه کنیم. سپس، خروجی تابع درونی را به عنوان ورودی در تابع بیرونی قرار دهیم. به...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

انواع تابع در ریاضی چه هستند ؟

توابع مختلفی در دنیای ریاضی وجود دارند که از مهم‌ترین آن‌ها می‌توان به توابع خطی، چندجمله‌ای، توانی، مثلثاتی، وارون و لگاریتمی اشاره کرد. معیارهای مختلفی برای تقسیم‌بندی انواع تابع در ریاضی وجود دارند.

بر اساس این معیارها، توابع مختلف به چهار گروه اصلی تقسیم می‌شوند:

انواع تابع بر اساس رابطه بین دامنه و برد: تابع یک به یک، تابع چند به یک، تابع پوشا، تابع یک به یک و پوشا، تابع غیرپوشا و تابع ثابت
انواع تابع بر اساس فرم معادله: تابع همانی، تابع خطی، تابع درجه دو یا مربعی، تابع درجه سه یا مکعبی و تابع چندجمله‌ای
انواع تابع بر اساس برد: تابع قدر مطلق، تابع گویا، تابع علامت، تابع فرد، تابع زوج، تابع...

زهـرا دُلاریـᥫ᭡ · 28/6/23

تابع چند جمله ای چیست ؟

«تابع چند جمله‌ای» (Polynomials Functions)، یکی از طبقه‌بندی‌‌های گسترده و کلی در مبحث تابع در ریاضی است. بسیاری از توابع ریاضی در گروه چندجمله‌ای‌ها قرار می‌گیرند.

توابع چندجمله‌ای، مطابق با فرم زیر نوشته می‌شوند:

f(x)=anxn+an−۱xn−۱+...+a۱x+a۰�(�)=��+��−۱��−۱+...+�۱�+�۰

n، درجه چندجمله‌ای و an��، ضریب پیشرو است. شروط زیر در فرم کلی تابع چندجمله‌ای صدق می‌کنند:

n≥۰�≥۰ و عضوی از مجموعه اعداد صحیح است.
anan−۱....a۰��−۱....�۰، ضرایب ثابت هستند.
an≠۰��≠۰

البته، استثناهایی برای شروط بالا وجود دارند. به عنوان مثال، اگر n=۰�=۰ باشد، الزام شرط سوم (an≠۰��≠۰) از بین می‌رود. در صورت ۰ بودن a۰�۰، تابع f(x) نیز برابر با...

تابع چیست؟ – در ریاضی و به زبان ساده + حل تمرین و مثال

گزینه‌های بیشتر

زهـرا دُلاریـᥫ᭡